Materi Himpunan

HIMPUNAN

1. Definisi himpunan

Himpunan dapat dikatakan sebagai sekumpulan benda yang dapat didefinisikan dengan jelas.

    Penulisan suatu himpunan  : 

    a. menyatakan anggota himpunan dengan kata-kata

    Contoh : A = {bilangan prima kurang dari 11}

    b. menyatakan angota himpunan dengan notasi pembentuk himpunan 

    Contoh : C = { x | -5 ≤  x < 10 , x Î B }

    c. menyatakan anggota himpunan dengan cara mendaftar

    Contoh :  A = {4, 6, 8, 10, 12}

2. Himpunan kosong 

    himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Simbol himpunan kosong adalah { } atau  Æ 

3. Himpunan semesta

    Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan. Simbol dari himpunan 

    semesta adalah S. 

    Contoh : A = {1, 2}

                  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

                  C = {2, 4, 6, 8, 10, ...}

    Himpunan semesta yang dapat memuat ketiga himpunan di atas adalah himpunan bilangan cacah. 

    jadi himpunan semestanya adalah  S = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

4. Himpunan bagian 

  A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota 

  himpunan B dilambangkan dengan A Ì B

  Contoh:

   S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

   A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

• Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi  B  Ì  A

• Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C Ë  A

        Rumus Banyaknya Himpunan Bagian :

         Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A  

        adalah  sebanyak 2^n(A)

        Contoh :

        Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut :

1.A = { a, b, c }2.B = { 1, 2, 3, 4, 5 }3.C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

          Jawab :

1.n(A) = 3  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 2³ = 2 x 2 x 2 = 82.n(B) = 5  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 323.n(C) = 7  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 

5. Irisan dua himpunan

Irisan himpunan A dan B ditulis A Ç B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan BContoh:

 Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P   Ç   QJawab :

P   Ç   Q  = { d, e }

6. Gabungan dua himpunan

Gabungan himpunan A dan B ditulis A È B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan BContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P È QJawab :  P È Q = { a, b, c, d, e, f, g, h } 

7. Himpunan lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama 

Contoh :

L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }

G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?

Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi  L // G

8. Himpunan tidak saling lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama  

Contoh :

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Ë Q

9. Diagram venn

Langkah-langkah menggambar diagram venn 

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 

4.Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi  anggota bersama tadi 

5.Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan  

6.Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu

7.Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

contoh soal :

 Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.

a.Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? 

b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?

c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? 

Jawab:

n(S) = 32 

a. yang gemar melukis saja = 21 - 10 = 11 orang

b. yang gemar menari saja = 16 - 10 = 6 orang 

c. yang tidak gemar keduanya = 32 - (11 + 10 + 6 ) = 5 orang